March 7, 2017

Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Sei D4 die Diedergruppe der Ordnung 8. Man bestimme alle Untergruppen von D4 und ermittle, welche davon Normalteiler sind. Aufgabe 83. Eine Gruppe G der Ordnung 55 operiere von links auf einer Menge X mit 18 Elementen. Man zeige, dass es mindestens zwei Fixpunkte in X gibt. ) Analytische Geometrie und Lineare Algebra II, Universit¨ at G¨ ottingen 2006 48 13 13 Bilinearformen Bilinearformen Lernziel. 1 Symmetrische Bilinearformen Sei K ein K¨ orper, und sei V ein K-Vektorraum. Definition. (i) Eine Bilinearform auf V ist eine Abbildung s : V × V −→ K, (v, w) −→ v, w mit den Eigenschaften 1.

Qm }. Es ist P = m (q1 + . . + qm ) der Schwerpunkt der Bahn. Also ist β(P ) = P f¨ ur jedes β ∈ G, denn β permutiert die Elemente der Bahn, und β(P ) ist wieder der Schwerpunkt dieser Elemente nach dem Lemma. 11 Endliche Untergruppen der Drehgruppe von ❘3 Im dreidimensionalen reellen Raum sind Bewegungen wesentlich schwieriger zu klassifizieren als in der Ebene. Wir beschr¨ anken uns daher darauf, endliche Untergruppen der r¨aumlichen Drehgruppe D3 (❘) zu betrachten. Es ist D3 (❘) = f : ❘3 → ❘3 | f orthogonal, det f = 1 SO3 (❘).

2. Fall In (1) ist a12 = 0 und ein aii = 0, etwa a22 = 0. Dann ist a11 = 0, da X sonst ausgeartet w¨are. Durch die Substitution x1 = y1 − 2aa111 erhalten wir f (x1 , x2 ) = a11 y12 + a2 x2 + c = 0 mit einem c ∈ ❘. Es ist a2 = 0, da X sonst ausgeartet w¨are. Mit der Substitution x2 = y2 − ac2 erh¨alt man a11 y12 + a2 y2 = 0. Division durch −a2 ergibt dann c1 y12 − y2 = 0 a11 . Ist c1 < 0, so ¨ mit c1 = −a andert man das Vorzeichen durch Spie2 gelung y2 = −y2 . Also ist die Normalform f¨ ur eine Parabel erreicht.

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