March 7, 2017

An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext by Christian Tapp

By Christian Tapp

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Denn was bedeutet es für ein Wissensgebiet, daß man seine Sätze auf die Sätze eines anderen Wissensgebietes zurückführen kann? Wie wirkt sich dies auf die ontologischen commitments einer Wissenschaft aus, die man durch das Operieren mit abstrakten Objekten eingeht? Konkret wird diese Frage beispielsweise im Zusammenhang mit der sog. „Methode der idealen Elemente“, in deren Umfeld oft behauptet wird, die Ausdrücke für ideale Objekte seien nichtreferentiell. Für solche Ausdrücke gehe man entsprechend keine ontologischen Verpflichtungen ein.

Thiel, Philosophie [1995], 1 An dieser Entwicklung läßt sich verfolgen, wie sich genuin philosophisch-grundlagentheoretische Motive mit dem pragmatischen Interesse verbanden, die etablierte eigene Wis40 Später bezeichnete Hilbert diese „Gedankendinge“ als „gewisse außerlogische, konkrete Objekte“. 2 Hilbert, Mathematik und Philosophie 21 senschaft weiter betreiben zu können, und wie aus dieser Verbindung eine neue wissenschaftliche Teildisziplin entstand. Dies wirft neues Licht auf die Frage, wie Wissenschaften entstehen können, und auf die althergebrachte Vorstellung, daß die Philosophie als „Mutter aller Wissenschaften“ diese hervorbringt und aus sich entläßt.

Die „Theorie“ besteht aus einigen wenigen Axiomen. An ihnen kann man fast unmittelbar „ablesen“, daß sie nicht auf Widersprüche führen können. Dieses „Ablesen“ entspricht einer Aussage auf der Metaebene der betrachteten Theorie, und derartige „metamathematische“ Aussagen waren durch Hilberts Arbeiten über die logischen Relationen zwischen den Lehrsätzen der Geometrie und damit durch seine neuartige Konzeption von Axiomatik bestens vorbereitet. Da dieses „Ablesen“ bei umfangreicheren Axiomensystemen mehr kombinatorischen Aufwand verursacht, lag es nahe, diesen Schritt mit den kombinatorischen Mitteln der Mathematik durchzuführen.

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