March 7, 2017

Algèbre : Chapitres 1 à 3 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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Example text

Z)n 0 est une suite infinie strictement décroissante de sous-groupes (distingués) de Z; quel que soit p, lest premiers termes de cette suite forment, avec le groupe {O}, une suite de composition strictement décroissante; s'il existait une suite de JordanWilder pour Z, elle aurait au moins p + 1 termes, d'après le corollaire du th. 6; conclusion absurde, puisque p est arbitraire. Par contre, il existe une suite de Jordan-Wilder dans tout groupe à opérateurs fini G: en effet, si G {e}, parmi les sous-groupes stables distingués de G, distincts de G, soit H1 un sous-groupe maximal; lorsque H7, # {e}, définissons de même par récurrence 1-4,1 comme un élément maximal de l'ensemble des sous-groupes stables distingués de Fin, distincts de Fin ; la suite des ordres des Fin est strictement décroissante, donc il existe n tel que Fin = {e}, et la suite formée de G et des Hi (1 5 i 5 n) est, d'après sa formation, une suite de Jordan-Wilder.

Exemple, — Dans un monoïde quelconque E, l'ensemble des éléments inversibles, muni de la structure induite par celle de E, est un groupe. En particulier, l'ensemble des applications bijectives d'un ensemble F sur lui-même (ou ensemble des permutations de F) est un groupe pour la loi (f, g) f o g, qu'on appelle groupe symétrique de l'ensemble F et qu'on note OF. Dans ce paragraphe, sauf indication contraire, nous noterons toujours multiplicativement la loi de composition d'un groupe, et nous désignerons par e l'élément neutre d'une loi de groupe ainsi notée.

On dit qu'une relation d'équivalence R dans E est compatible avec l'action donnée si, quels que soient les éléments x et y de E tels que x y (mod R) et quel que soit oc E 1-2, on a fa (x) fa (y) (mod R). L'application qui, à un élément oc E 12, associe l'application de E/R dans lui-même déduite de fa par passage aux quotients, est une action de 1-2 sur E/R, appelée quotient de l'action de 1-2 sur E. 26 §3 STRUCTURES ALGÉBRIQUES Soit E un magma et soit R une relation d'équivalence sur E. On dit que R est compatible à gauche (resp.

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