March 8, 2017

Algebra II by Heinz-Georg Quebbemann

By Heinz-Georg Quebbemann

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N} und g das Produkt der verschiedenen Polynome fs mit 1 ≤ s ≤ d − 1. Der zyklische Code der L¨ange n mit dem Erzeugerpolynom g heißt BCHq (n, d) (nach Bose, Ray-Chaudhuri, Hocquenghem). 1 gilt f¨ ur die Dimension k dieses Codes: n − k = Grad g = Anzahl der Elemente von Z := Z1 ∪ . . ∪ Zd−1 . Jedes Zs hat maximal m Elemente, Z also maximal (d − 1)m Elemente. B. im Fall q = 2 durch Zs = Z2s auf maximal d−1 2 m Elemente. Die den Codew¨ortern c entsprechenden Polynome c(t) sind durch alle fs mit 1 ≤ s ≤ d − 1 teilbar, also gilt n−1 cj ζ sj = 0, 1 ≤ s ≤ d − 1.

2 Der Code BCHq (n, d) hat a) Dimension k = n− Grad g ≥ n − (d − 1)m b) Minimalabstand ≥ d. Beispiel. Der bin¨are Golay-Code G23 := BCH2 (23, 5). In Z/23Z gilt Z1 = {1, 2, 4, 8, 16, 9, 18, 13, 3, 6, 12} = Z2 = Z3 = Z4 . Die verschiedenen zyklotomischen Mengen sind daher Z0 , Z1 und Z5 , womit f in die irreduziblen Faktoren t − 1 und f1 , f5 vom Grad 11 zerf¨allt. Um das Erzeugerpolynom g = f1 unseres Codes explizit zu berechnen, betrachten wir zun¨achst das Polynom e(t) = ta , wobei u ¨ber alle a in {0, .

Bemerkungen. 1) F¨ ur eine Potenz q = pe mit e > 1 ist der Ring Z/qZ bekanntlich kein K¨orper, in diesem Fall ist also Fq nicht Z/qZ. 7 folgt: F¨ ur jedes e ∈ Z>0 existieren irreduzible Polynome vom Grad e u ¨ber Fp . Mit q = pe , F∗q = < α >, also Fq = Fp (α), ist n¨amlich das Minimalpolynom gα ∈ Fp [t] ein solches Polynom. 3) Es liegt nahe, Fq mit Hilfe eines irreduziblen g ∈ Fp [t] als Restklassenk¨orper Fp [t]/gFp [t] zu konstruieren. A. viele Wahlm¨oglichkeiten f¨ ur g hat (aber bei festem Grad immer der ”gleiche” K¨orper herauskommt).

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