March 8, 2017

Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Dann können wir m in der Form m = ln + r für ein 0 ≤ r < n schreiben. Mit m, n ∈ H ist dann aber auch r = m − ln ∈ H. Wegen r < n und der Minimalität von n zieht dies r = 0, d. h. H ⊆ nZ, nach sich. Insgesamt folgt H = nZ. 17 Die alternierende Gruppe ist die Untergruppe An ⊆ Sn der symmetrischen Gruppe, die aus den Elementen σ mit σ · Δ = Δ besteht, wobei (Xi − Xj ) Δ= i

Zeige, dass die p-Sylow-Untergruppe G(p) von G für m ≥ n + 1 m m isomorph zu G/Gp ist, wobei Gp das Bild von G unter der Abbildung m g → g p ist. 3 Der Satz von Jordan-Hölder Ein wichtiges Hilfsmittel zur Behandlung und zur Klassifikation von Gruppen sind sogenannte Normalreihen. Sie waren ein ganz entscheidendes Konzept für die bahnbrechenden Erfolge von Galois in der Behandlung von Körpern und für die Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale im 19. Jahrhundert. Heute spielen die Konzepte, die wir in diesem Kapitel bereitstellen werden, u.

Gι , für die f (ι) ∈ Gι bzw. g(ι) ∈ Gι gilt. Dann ist ( ι∈I ϕι )(f ) die Abbildung, die ι ∈ I auf ϕι (f (ι)) abbildet. Entsprechend ist die direkte Summe definiert. Einer Familie Gι , ι ∈ I, von Gruppen haben wir ihr direktes Produkt ι∈I Gι und eine Familie von kanonischen Projektionen πι : ι∈I Gι → Gι , ι ∈ I, zugeordnet. 23 (Universelle Eigenschaft des direkten Produkts) Ist H eine Gruppe und ϕι : H → Gι , ι ∈ I, eine Familie von Homomorphismen, so gibt es genau einen Homomorphismus ϕ : H → ι∈I Gι mit ϕι = πι ◦ ϕ.

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